Kouign-amann à l'ail et au parmesan

La détrempe (à faire la veille ou 2 heures minimum à l'avance)

• 180 g de lait demi-écrémé
• 10 g de levure boulangère fraîche
• 300 g de farine de blé, et un peu pour le plan de travail
• 15 g de sucre en poudre

Le tourage

• 300 g de beurre demi-sel (dont 200 g en 1 morceau et 100 g coupé en morceaux)
• 100 g de parmesan, coupé en morceaux
• 25 g de beurre doux, coupé en morceaux
• 1 botte de persil frais
• 10 gousses d'ail